Algebraic Properties of Statements

Algebraic Properties of Statements

Algebraic operations are performed among the statements also, but here the operations are the connectives. Let $p, q$ and $r$ be three statements. Let $T$ denotes some true and $F$ denotes some false statements then the following equivalent statements are valid. Also, with the help of truth tables all of them are proved as follow-

Idempotent Law

• $p\vee p \equiv p$

$\ p$	$\ p\vee p$
$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$




• $p\wedge p \equiv p$

$\ p$	$\ p\wedge p$
$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$

Associative Law

• $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$

$\ p$	$\ q$	$\ r$	$\ p\vee{q}$	$\ q\vee{r}$	$\ (p\vee{q})\vee{r}$	$\ p\vee{({q}\vee{r})}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$




• $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$

$\ p$	$\ q$	$\ r$	$\ p\wedge{q}$	$\ q\wedge{r}$	$\ (p\wedge{q})\wedge{r}$	$\ p\wedge{({q}\wedge{r})}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$

Commutative Law

• $p\vee q \equiv q\vee p$

$\ p$	$\ q$	$\ p \vee{q}$	$\ q \vee{p}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$




• $p\wedge q\equiv q\wedge p$

$\ p$	$\ q$	$\ p \wedge{q}$	$\ q \wedge{p}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$

Distributive Law

• $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$

$\ p$	$\ q$	$\ r$	$\ q\wedge{r}$	$\ p\vee{q}$	$\ p\vee{r}$	$\ p\vee{(q\wedge{r})}$	$\ (p\vee{q})\wedge{(p\vee{r})}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$




• $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$

$\ p$	$\ q$	$\ r$	$\ q\vee{r}$	$\ p\wedge{q}$	$\ p\wedge{r}$	$\ p\wedge{(q\vee{r})}$	$\ (p\wedge{q})\vee{(p\wedge{r})}$
$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$	$\ F$

Identity Law

• $p\vee F\equiv p$

$\ p$	$\ F$	$\ p\vee F$
$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$F$




• $p\vee T\equiv T$

$\ p$	$\ T$	$p\vee T$
$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$T$




• $p\wedge T \equiv p$

$\ p$	$\ T$	$\ p\wedge T$
$\ T$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$F$




• $p\wedge F\equiv F$

$\ p$	$\ F$	$\ p\wedge F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$F$

Complement Law

• $p\vee \sim p\equiv T$

$\ p$	$\ \sim{p}$	$\ p \vee{\sim p}$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ T$




• $\sim (\sim p)\equiv p$

$\ p$	$\ \sim{p}$	$\ \sim(\sim p)$
$\ T$	$\ F$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ F$




• $p\wedge \sim p\equiv F$

$\ p$	$\ \sim{p}$	$\ p \wedge{\sim p}$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$




• $\sim T \equiv F$ ; $\sim F \equiv T$

$\ T$	$\ \sim{T}$	$\ F$	$\ \sim{F}$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$

De-Morgan's Law

• $\sim (p\vee q)\equiv \sim p\wedge \sim q$

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p\vee{q}$	$\sim(p\vee{q})$	$\ \sim{p}\wedge \sim{q}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$




• $\sim (p\wedge q)\equiv \sim p\vee \sim q$

$\ p$	$\ q$	$\ \sim{p}$	$\ \sim{q}$	$\ p\wedge{q}$	$\sim(p\wedge{q})$	$\ \sim{p}\vee \sim{q}$
$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ F$
$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$
$\ F$	$\ F$	$\ T$	$\ T$	$\ F$	$\ T$	$\ T$

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